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電力p[J/s]の意味と解析法(2)解析法

 

(2020/02/04)。何故印刷すると、自分のブログが「購読ブログ」と表示されるのか?

はじめに(2019/12/03) 9月28日に表題だけで残してあった。電気回路解析法としてアドミッタンス法を考える心算で、そのままにしてあった。分布定数回路現象は電気回路のエネルギー伝送のより物理的解釈になるが、技術解析法として集中定数解析による手法がアドミッタンス法になろう。電流解析法で、瞬時有効電流と瞬時無効電流の分離に有効な手法となろう。再び電気技術解析手法に戻って考えてみたい。(2019/12/09)今、特に気付いたことがある。等価回路変換の定理 (2016/01/29) が回路解析上とても重要な意味を持っていると気付いた。それは電気回路解析であまり注目されていない『時定数』が重要な意味を持っていると考えていた。その『時定数』に着目した解析手法に関係付けて、インピーダンスの直並列等価回路変換に一つの発見をした点である。前の記事、電気回路のエネルギー問答 (2019/10/02) で示した負荷電流の分離(有効電流と無効電流)から電力の解析法を考えてみたい。

回路条件

以前、電気回路のエネルギー問答 (2019/10/02) で取り上げた回路条件である。この回路条件の負荷である直列インピーダンスを次の回路変換定理によって並列回路に変換する。『時定数』が重要な役目を担っている。

 

 

並列回路への等価変換により、ωT=X/R=3/4から、

R’= 25 [Ω] 、 L’ = 106.17 [mH]  および X’ = ωL’ = 33.34 [Ω]

となる。その結果により、アドミッタンス解析を取り上げてみよう。並列回路への変換に『時定数』を使うか、使わないかで算出計算の手間に差がある。また回路動作の意味を理解するに違いがある。

負荷回路電流を『エネルギー』の意味から、有効電流と無効電流に分離して捉えるには、並列回路が分かり易い。即ちアドッミッタンスと電圧の積で分離できる。

(2020/01/26)再記述始める。

アドミッタンス Y=1/R’ + 1/jX’  = G -jB [℧] での解釈をもう一度考えてみたい。一般には負荷の特性を評価する場合、直列インピーダンスとして捉えるであろう。負荷の電力をどのように捉えるか。負荷にはモーターなどその回路要素を捉え難い場合も多い。基本的には、電源電圧に対してどの様な『エネルギー』の流れになっているかを理解することが大切と思う。電源電圧がある一定の周期波形であることで、モーターの回転数も決まる。電圧値が変化することは送電エネルギー・供給エネルギーも時間的に変化する訳である。そのエネルギー流の変化は負荷特性によって電源にも様々な影響を及ぼすのである。そのエネルギーの流れを電源電圧値を基準にした二つの流れに分離する解釈が有効と考える。電圧の2乗によって負荷に供給されるエネルギー流とそれとは異なる負荷で吸収と回生のエネルギー流の繰返し成分とに分離して捉える考え方が有効と考える。

図1.電線路と瞬時電力 

電線路は三相の高圧配電線路で成り立ち、三相回路でエネルギーの供給が成される。変圧器を通して低電圧(対地電圧150ボルト以下の安全性で家庭に供給される)配電線路を通して負荷につながる。図に示すように、『エネルギー』は電圧波形に従って時間的に脈動して負荷に供給される。この『エネルギー』と言う物理量は瞬時的に捉え難いものである。『エネルギー』の量の瞬時値を波形で観測することができない。光や熱の『エネルギー』のように、それを観測できない不思議な物理的「実在量」なのである。代わりに「電力」でその『エネルギー』の意味を理解するしかないのである。図のように、負荷を通して消費されるものと再び電源に回生されるものとの二通りに分けられる。電源に回生される『エネルギー』は供給する電源側にしてはとても迷惑なものになる。単相線路で配電するものを統合して、三相として捉えた時、その厄介な回生『エネルギー』でもうまく吸収する機能が発揮されている。ただ電圧と電流概念で解釈するだけでは捉えきれない『エネルギー』が有るのだ。

図2.回路変換と電流

図の①の直列回路については既に電気回路のエネルギー問答 (2019/10/02) に電流波形、電力波形として示した。

 

アドミッタンスへの変換

 

ここでは、計算結果は直列回路での計算と同じであることから、並列アドミッタンス変換回路に有用性があるかと疑問もあろう。確かに直列回路インピーダンスによる伝統的解釈でも電流や電力の分離は簡単にできる。図の①で考えた時、電流 ia と irはインピーダンスZ=√(R^2 + X^2)  (何故か? (jX)^2^= X^2^ で (j)^2^= 1 の不思議な虚数概念の矛盾が通る。)およびアドミッタンス Y= R/Z – jX/Z によって算定できる。ただそこには、電気工学特有の複素ベクトル記号 j の取り扱い方の問題がある。ピタゴラスの定理とオイラーの公式そして電気ベクトル (2017/01/15) に指摘した。この複素数ベクトルによる虚数の概念は共役複素数による分数有理化などの処理においても、j^2 = -1 の基本が所謂ご都合により科学論の論理性で矛盾した扱いになっている。この記号 j を虚数としての解釈では科学論と言うより、習熟による技術業界論になってしまう。図2.の②で、1/jX’=-j/X’=-jB は、1/j も -j も虚数ではなく、電圧に作用するサセプタンス B がその電流を電圧より位相π/2だけ遅らせる記号として解釈する。

この“ j ” について

伝統的ベクトル計算の関係を生かした、単なる位相の進みと遅れの解析記号として捉える意味を提示したい。+jはπ/2 進相、-jおよび  1/j  はπ/2位相遅れの意味を表す『位相記号』と解釈する。

 

アドミッタンス回路 図の②の場合は、印加電圧 v に対して同位相の電流 ia とπ/2遅れの電流 ir に分離されて、有効電流と無効電流の意味が直列インピーダンス回路より分かり易い。同じく瞬時電力も有効分と無効分が感覚的に分かり易いと思う。

(参考)2017年にベクトルと電気現象を考えた。纏めて挙げておきたい。三相交流回路の負荷と無効電力 (2017/01/01)。空間とベクトル (2017/02/03)。瞬時電力問答 (2017/02/15)。単相瞬時空間ベクトルと瞬時値 (2017/03/04)。三相交流回路の瞬時電流分離 (2017/03/24)。三相瞬時空間ベクトル (2017/04/07)。空間ベクトルと回転軸 (2017/09/07)。また空間ベクトルについて、空間ベクトル解析と単位ベクトル (2011/06/06) 。

 

 

 

複素数を解剖する

標題修正と追記) 標題の「斬る」を穏やかな「解剖する」に修正する。更にコメントが有ったので、ガウスの記憶の不明を記し、数式計算に関する件については理解不能を末尾に記す。(10月30日 末尾追記) コメントの数式の指摘に対する考えを示した。

虚数 虚数と言う数は、我々が生きているこの現実世界に存在するものを表現できない。虚数は、私が高等学校の数学の授業で学習したのが最初の出会いであった。当時の数学は「解析1」「解析2」を1,2年生で、「幾何」を3年生で学習した。教科書に載っていたように記憶しているが、虚数概念の導入にガウスが窓ガラスを這う蠅を見て、座標に虚数軸を思いついた、と言うような記述があったように覚えている(コメントで誤りと指摘された。ガウスでなくデカルトで、しかも虚数には関係ないとご指摘いただいた。しかしその点を確認出来ない)。確かではないが、当時は成程なと感心はした。2次方程式の解に虚根の導入がとても重要な数学の領域を拡大する手段になったと教えられた。今その虚数概念を「斬る(解剖するに表現緩和)」と言う意味でこの記事を書いている。私もガウスに倣って、食卓の上を飛び回る蠅を観察して、座標にどう表現するかを頭に描いてみた。我々が現実に生活する場は、どんなに考えても立体的な3次元空間である。蠅の運動を記述するなら、基準座標を適当に設定すれば良かろう。食卓の上に3っつの直角に交わる軸を設定する。それぞれの座標軸の方向に単位ベクトル i, j and k を決める。ある一瞬の時刻 t での、蠅が居る位置が座標 r(t) で定まる。そのベクトルを座標原点Oからの位置として、 r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k  で表す。高等学校で、微分の微小時間を極限までゼロに近付けると、「飛ぶ矢は飛ばず」と言う意味で解釈する事を学んだように覚えている。それと同じで、極めて短い時間を考えれば、蠅は一瞬、一瞬の時刻で止まっているとも見做せる。その各軸に対応する位置が大きさ x(t)、y(t)、およびz(t) となる。この各一瞬の時刻 t が蠅の運動を記述するに必要である。その時刻の変数を時間の次元として加えるから、「4次元座標」で世界を記述する事が出来る。高等数学や宇宙物理学で5次元や多次元論が語られるけれども、私には4次元を超える次元は不要としか観えない。さて、振り返ってみて、「虚数軸」を導入した「複素数」が世界を表現するのにどれだけ役立つかと考えた時、実在世界の記述法には全く役に立たない数学的概念であると思う。複素関数論と言うとても難しい数学の世界がある。オイラーの等式訂正と指数計算例その基礎的で、有名な式に、「オイラーの公式」がある。複素数は実軸の意味で、確かに現実の物理量を表現するが、虚軸でどんな物理量を表すのかと問えば、それは何もこの現実世界に実在する物を表現し得ないのである。数学が私のような凡人には入り込めない世界を表現しているように思える。目の前に描き得る具象世界でしか、この自然界を理解できない者には「虚数」は受け入れ難いものに観えてきた。上に挙げた、オイラーの等式は巷では、世界の『至宝』として論じられ、本が書店に飾られている。有名なファインマンさんが『至宝』であると、そう褒められたように言われている。自然対数の底が自然科学の数学的記述の数式の根底を成している事も事実である。あらゆる計算の基に使われている訳だから、その数値が無ければ、計算が出来ない事になる程、数理科学の支配者のような存在である。他の数値で代用できる事態ではないが、その意味を考えると、自分の頭にはとても不思議な違和感を覚える事も確かである。その辺を、自然対数の底 e と虚数の意味を含めて、幾つか具体的な「計算例」を8つ程示した。この計算例の中で、7. の 1^jx^=?(cos x +j sin x ) は自然対数の底 e が如何なる意味なのかを考える意味で取り上げた。

自然対数の底 電気工学ではオイラーの公式が良く使われる。周期関数の三角関数での取り扱いが多かったので、正弦波である場合には、周期性を図面上に表現して視覚的に理解し易いかと言う意味で利用されたものと解釈する。しかし、オイラーの公式のように自然対数の底 e で表現する意味が何なのかは、明確ではなかろう。電気工学で表現する複素平面の図形は、「半径 1 」である。何も自然対数の底 e でなければならない訳が観えない。その事を、例題 7.  で示した。しかし、虚数を導入したオイラーの公式そのものがどんな意味を電気工学に与えたかと問えば余り意味が無いと思う。周期関数の回転座標表現で、 j sin θ の意味は何なのかと考えれば、何も意味は無いのである。三角関数で周期性の波形を表現する場合、その瞬時値が時間的にどのように変化するかだけである。それは、第一項の cos θ だけで十分である。しかも自然現象は、殆ど正弦波ではなく、電気回路の限られた導線での縛られた空間の観測回路信号に見られるものである。空間伝播エネルギーには正弦波は余りないと考える。電力系統の電力監視に於いても、あくまでも抽象的空間概念であるが、瞬時電力理論の『3次元空間』が複素関数論に比べても、格段に深い意味を提示できる。その一端を 光速度は空間定数(H/m,F/m)で決まる の図(3)に触れている。その詳細は「空間瞬時ベクトル解析法と交直変換器への適用」を参考にして頂きたい。

(コメントに関して) 指数計算例題の 7. について 1^jx=1 であると。しかし、その意味が理解できない。 1^jx=e^(log 1^jx) も、更にそれが=e^0^jx=e^0=1も理解できない。(log 1^jx)は(log 1)^jx=0^jx か(log(1^jx))=log 0 かも理解できない。

(コメントの数式への回答) 1^jx=1 というコメントに対して、次のように考える。ここで、一応虚数計算を仮に受け入れるとして、その指数計算に対するコメントに応えたい。1 のjx乗が 1^jx = 1 であるとは、虚数乗と言う数 jx が  jx=0 でも、=1 でも、=j270° でも、=j^3 でも虚数項を含まないで、1^jx=1 の実数値を表すと解釈したい。もし、 3^jx= やπ^jx=も e^jx= と異なり、自然対数の底 e でないだけで虚数項が含まれないなら、元もと虚数乗と言う意義が無いと考える。

1+1=? ー数学の論理ー

人が周りの世界を見る時、「数」という尺度で観る。古来からの当たり前の知識である。日常生活では、せいぜい一つ二つ、千万あるいは億の数値の意味が理解できれば事欠かない。しかし、現代社会のように、学問と言う特殊な、専門的分野の業界での生活が日常化して来ると、とても普通の市民が立入れない分野が増えて来る。特に『数学』と言う分野になると、そこに表現された数式一つの形式さえ、何を意味しているかが全く分からない人の集団業界に見えて来る。最近思うのである。数学と言う学問領域の最先端がどんな状況にあるかは全く分からないが、そこで用いられる表現化形式に世界と繋がる何かを本当に具体的に掴もうと意識しているのだろうかと。多分、そんな具体性等は『数学』の範疇に入らない等と言われよう。前から論じている事であるが、「虚数」がある。この世界に無い数の概念である。実在世界に無い数の概念が、科学技術分野、自然科学分野では当たり前に存在する数のように、数理世界の表現手段として、殆どその数的意味の内容が何であるかを疑いもしないで日常的に書き記し、利用されている。確かに、便利なのである。例えば、自動制御回路を組む時、その回路の『安定性』が重要である。少しの雑音信号で回路動作が不安定に成り、発散して仕舞っては困る。そこでの「ナイキストの安定判別法」には複素数が基になる。他にも、電気工学には動作解釈に虚数が多用されてはいる。「ラプラス変換法」等もその一つである。しかし、その複素数の虚数がどれほど重要な意味を持っているかは疑わしく思う。確かに電気回路解析時における手段としてはとても便利に使える。今まで、その虚数、複素数の意味を具体的に考えないで利用して来た。技術分野では、誰もがその便利さに驚きの思いだけで利用して来た。今も深くその意味を考える等自分にはおこがましい事であり、能力は無い。それにしても気掛かりな事が多くある。数学とは、論理的に完璧さを追究する学問体系と普通は考えるだろう。それは本当だろうかと怪しく感じて来た。そう思うのは、自分だけの思い過ごしかも知れない。しかし虚数の概念には、『虚時間』等と言う提唱者が世界的に有名な方で居られる。時間ならその数値の次元、単位は秒 [ s]等になるだろう。しかし私の頭で、世界を虚時間で認識する等と言う事はとても無理である。標題の 1+1=?  とは、1 が何を指す数なのかを、この世界の中で捉えていなければ無意味だと言いたい。例えば、リンゴ一つの意味の「1」と長さの意味メートルの「1」とを加えても、それが何を表現するかは理解できない「?」である。もっとも簡単な算数式の「1+1=」さえそこには『世界に実在するもの、矛盾なく誰もが理屈で考え得るもの』の対象でないと、その数式の表現する内容が矛盾と曖昧さに覆われたものになるのじゃないかと心配である。前からこんな事を書き記そうと思っていたが、今日になったのには切っ掛けがあった。ブログ『生活電気の・・』の中味を考えている内に、ハタと自分の無力さを知って、驚いた。それは、三角関数の計算で全く理解できない基礎にぶつかった。例えば、「sin 30° , sin (π/6[rad]) =? 」をどのように計算するのだろうか?(間違えて済みません。訂正します。角度が30°、60°の場合は、正三角形から幾何学的寸法の計算で得られる。また、45°も直角三角形から簡単に得られます。だから例に、sin 35.5° とでも挙げれば良かったと後悔です。思慮不足で済みませんでした。)と豆腐に頭をぶつけなければならないショックを受けた。便利にどんな三角関数計算も「電卓」一つで済まされる時代である。しかしその『基礎』に踏み込んでみると、何にも理解出来ていない自分が在る。1[㎡] + 1[m/s] = 2 [?] 等の計算をしないように気を付けようと、改めて『基礎』の大切さを噛み締めたい。論理性と言う理屈の中味に注意したい。