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空間とベクトル

眼前に広がる空間は実在空間である。その空間をどのように認識するかは易しいようで結構難しいかもしれない。その訳は、有名な科学者が五次元空間とか、多次元空間とかの科学論を話題にするが、どう考えても時間の次元を加えても4次元空間しか理解できないのだ。科学者の論理は難しい。そこには抽象化の論理展開が原因に成っているからなのかもしれない。5次元空間は実在空間と異なる抽象化空間だから自分には理解できないと諦める。

4次元空間(実在空間と抽象空間) 3本の互いに直交する直線の座標軸に時間の次元を加えて、眼前の空間に展開される自然現象を捉えることが出来る。ただその4次元空間と言っても、その認識する人の意識が同じとは言えないように感じる。観測者としての立ち位置をどう捉えるかという大きな問題が潜んでいる。『認識する空間』とは何かに答えなければならない問題を抱えているのだ。さらに、自分にとっては4次元空間でも実在空間と抽象空間の二つがある。

%e3%83%99%e3%82%af%e3%83%88%e3%83%ab%e3%81%a8%e7%a9%ba%e9%96%93%e5%ba%a7%e6%a8%99ベクトルと空間座標(②の図で、sinφは負になる) 図のi j k nα nβ nγ などはすべて単位ベクトルであり、大きさ1の方向性を規定する重要なベクトルである。先ず4次元の実在空間がある。眼前の空間は光に満ちている。光は日常生活そのものを照らす実在である。物理学理論を持ち出さなくても、日常感覚に溶け込んでいる。光は直進する。その速度は毎秒30万キロメートル進む。ただそれだけの意味の光の性質を元に、眼前の4次元空間に光の運動を考えてみよう。例えばビーム性の高い『レーザーポインタ』のような光源を取上げよう。その指向性の高い光パルスを1秒間真上に向けて放射したとする。その時の光の軌跡はどのように描かれるかと言う単純な問題である。その光のビームは連続的な一本の線を描くであろう。その線が直線であるか曲線であるかを問うのである。こんな余りにも素人らしい日常生活者の視点からの疑問がとても科学論には重要であると考えるのだ。光は1秒間に30万km進むから、光の軌跡もその長さは30万kmになる。さて光が直進すると言う意味はどのような意味なのだろうか。その時、光の進む空間をどのように認識するかが基本的概念になる。眼前の実在空間は光に対してどのような意味を持つのかである。自分が立っているのは地球である。地球は太陽を中心にして公転しながら自転している。太陽がどのような速度かは分からない。しかし、地球の速度を公転で考えても大よそ毎秒30kmと言われている。この地球の速度と光の速度との関係を実験で確認しようとしたのが二人の科学者マイケルソンとモーリーである。実験では上手く行かなかったが、考え方は正しいのだ。上の図の①は光が曲線を描くことを示した。光は光の放射源から空間に放射された途端に、放射源から完全に自由な光自身の空間伝播特性に従ってそのエネルギー伝播現象を示す。そのように光が直進することで決まる空間を光規定空間座標と考える。地球の空気層ではその媒体の特性の影響を受けるが、基本的には放射源の運動には支配されない。この問題は、光の相対速度を認識するかしないかの問題であり、認識する一人ひとりの解釈の問題である。光は『相対速度』でしか観測されない。その実験的証明は、レーマーの木星の衛星観測からの光速度算定実験に示されている。実験室での光観測実験では、光源と観測者が相対的に同一速度で運動しているから、光の相対速度は打ち消されて、観測できないのが普通の伝播現象である。やはり、実験に基づいた科学論を大切にすべきである。

電気工学と空間座標 空間とベクトルと言う標題で記事にした訳は、瞬時虚電力と言う電力理論の意味を分かり易く解説できたらとの願いで、考えている内に解釈の空間座標の意味を明らかにして置こうと思ったからである。『静電界は磁界を伴う』と言う実験結果の座標は実在空間座標になろう。コンデンサのギャップ空間の磁場を検出するのは普通の実験空間である。しかし、瞬時電力理論で展開する座標は独特の抽象化された、実在しない空間概念である。上の図②のように、一般に科学技術論で取り扱う空間座標は抽象化座標が殆どである。その抽象化された概念が専門家にとっては日常的にありふれた概念であるから、市民が理解するには無理がある事を余り意識せずに過ごしている。数学式で表現されると途端に難しくなる。数式で表現できる概念は、たとえ長い文章になっても日常用語で説明できる事が科学研究者の責任であろう。そんな意味で瞬時虚電力とは何じゃろうかとここに来て悩んでしまった。空間瞬時ベクトル解析法と交直変換器への適用は30年程前にまとめた論説であるが、なかなか良く出来ていると自分で書いていながら、読み直しても考えてしまう。世間知らずの無鉄砲人生の闇に翻弄されていた頃の思い出を乗せた論文資料だ。その意味を解説するに抽象化する科学技術の空間座標の意味を高校生にも何とか理解してもらえないかと思っての準備である。街なかの配電線路を見て、その中に在る自然現象としての『エネルギー』の振る舞いが日常感覚で何となく分かるようになればと思っている。

振り返って 図①の光の伝播ベクトルと空間の意味は、自由空間における光の伝播特性と周波数 日本物理学会講演概要集 第53巻第2号第1分冊 p.87 (1998)、光伝播時間算定のための瞬時空間ベクトル解析法 同上第54巻第1号第1分冊 p.77(1999) 2軸回転系の光伝播特性 同上 第55巻2号1分冊 p.77 (2000) にある。さらにこの関係でお恥ずかしい思い出がある。1999年7月中頃と思うがNatureに投稿したことがある。Instantaneous Space Vector Analysis of Light Energy of Root Element in Free Space 受付番号KO9198 とあるが、その当時に小杉文部大臣がロンドンに出向いて、この論文の処理に当たっていたように思う。その意味が理解できないが、natureからはregretと返送されて来た。これは光の相対速度を論じたもので、すでに光の速度と空間特性(2011/05/22)に示した。

ピタゴラスの定理とオイラーの公式そして電気ベクトル

ピタゴラスの定理は中学の算数の内容らしい。直角三角形の三辺の長さの間の関係の定理である。現実世界の寸法に照らし合わせて理解できる日常生活と結び付く、簡便で有用な定理だ。それに比して、オイラーの公式は複素平面と言う現実の世界には存在しない、見る事の出来ない数学特有の公式である。『虚数』は実在しない世界の概念である。電気工学でも、多く虚数は使われている。ウイキペディアにオイラーの公式が図形で説明されている。

%e3%83%94%e3%82%bf%e3%82%b4%e3%83%a9%e3%82%b9%e3%81%a8%e3%82%aa%e3%82%a4%e3%83%a9%e3%83%bcピタゴラスとオイラーの式の比較 オイラーの公式の図はWikipediaの図形を参考にした。ただ、sin φに虚数記号 i (赤色文字で)を書き加えた。ピタゴラスの定理の各辺はすべて実数で、現実世界の数量を対象にした数式である。同じ直角三角形でも、オイラーの場合は一辺が虚数である。直交座標軸の縦軸が実数でなく虚数である。虚数はこの実世界に存在するものでなく、あくまでも非現実世界の表現量である。私は非現実的な数が現実の世界認識に有用な数であるとは理解できないのである。具象平面のピタゴラスの定理に対照してみたい。

z=e^iφ^ ,  x=cos φ ,  y=i sin φ

として、z,xおよびyの間にピタゴラスの定理を適用してみると、『虚数の2乗は-1』の大原則から、

|e^iφ^|=√(x^2^+y^2^)=√(cos^2^φ-sin^2^φ)

となる筈だが、虚数の原則は無視する不思議な数学的論理即ち、

y^2^=+sin^2^ φ

と決してマイナスに成らない論理が理解できないのだ。具象平面の現実世界にオイラーの公式の複素平面の数を対照すると、直角三角形の斜辺は他の二辺より大きいと言う実在世界認識に反する結果をもたらす。だからその時は虚数の原則は無視する論理に成るのかと思う。

『オイラーの公式の現実世界表現への価値はどこに在るのか?(命題)』と高等数学論理に弱い頭で考えてしまう。

さて、上の命題はそのままとして、実際に虚数記号(iあるいはj)は電気工学で多用される。折角であるから、平面2軸座標における電気工学の虚数利用上の特徴を考えてみよう。

%e8%99%9a%e6%95%b0%e3%81%a8%e3%83%99%e3%82%af%e3%83%88%e3%83%ab虚数とベクトル 電気工学では虚数記号に j を使う。負荷インピーダンスベクトルZ=R+jωL と複素数表現をする。実軸の実数に抵抗Rとその垂直ベクトルを虚数で捉えてjωLと表現する。インピーダンスZと抵抗RおよびリアクタンスX=jωLの間に、直角三角形の図形評価で捉える。この回路では、R=ωLの場合として考えている。この場合の電圧を時間軸に展開して示せば、e 、e_rおよび e_lのように三つの正弦波形となり、その電圧ベクトルも虚数記号jに因って、インピーダンスベクトルと全く同一の直角三角形でベクトル図が描かれる。これらの直角三角形はその三辺の大きさは、ピタゴラスの定理の関係で捉えることに決まっている。だから虚数記号jによる複素平面解釈の電気工学理論が何故[j^2^=-1 の原則]が成り立たないのに伝統として確立しているのか。何故虚数jでなければならないのか。虚数の原則に気付くと、誤って合成インピーダンスZ=√(R^2^-(ωL)^2^)で有ったかな?と考えてしまう。

具象と抽象 とかく科学技術理論はその世界(専門家)特有の概念によって共通理解の常識の世界認識で解釈している。上の例の正弦波波形表現も時間軸で展開して理解し易いように表現したものであろう。しかし実際にその状態は見ることは出来ない抽象化の表現であろう。オッシロスコープによる波形観測は掃引輝点の軌跡の残像(蛍光)に依るからだ。

%e5%85%b7%e8%b1%a1%e3%81%a8%e6%8a%bd%e8%b1%a1具象と抽象 電圧もその瞬時値の連続として脳で認識する訳である。時間軸に展開した表現法は理解し易くしているだろう。しかしそれも一つの抽象化表現法と看做せよう。その抽象化の解釈法に虚数表現が取上げられよう。特別に虚数表現にしなければならない理由があるのだろうか。直交座標の取上げ方で合理的な方法があるのじゃなかろうか。

回転ベクトルと単位ベクトル 実数軸と虚数軸での複素平面表現法に対して、実数の現実世界の数の概念の範囲で、電気工学に使われる便利な直交座標を考えてみよう。なお、この単位ベクトルについては空間ベクトル解析と単位ベクトルで述べている。

%e5%9b%9e%e8%bb%a2%e3%83%99%e3%82%af%e3%83%88%e3%83%ab回転ベクトル 単相交流回路で、電源電圧が正弦波とする。一つのやはり抽象化表現法ではあるが、電源電圧が時間的にどのような状態に在ると考えるかの具体例を考えた。互いに直交した二つの『単位ベクトル』naおよびnb を平面に設定する。

スカラー積は (nanb)=0 、ベクトル積は[na×nb]=nc   と平面に直交した単位ベクトルnc に成る。

上のように大きさ1の方向だけを決める単位ベクトルを設定することにより、平面上を回転する電圧ベクトルを表現することが出来る。電圧の平面上のベクトルe

e=Em(na sin ωt –nb cos ωt)

によって時間 t の経過に従って、電圧ベクトルの先端の軌跡が円を描く。オッシロスコープのリサジュー図形観測で得られるだろう。

電流ベクトル軌跡 図の電流ベクトル軌跡は負荷変動があれば、その軌跡は複雑に変動軌跡を描くことになろう。一般には負荷変動が電圧波形の変動を生むから、電圧も円軌跡から外れるだろう。

電源電圧eを積分して- Em cos ωt をオッシロの縦軸入力(y)、電源電圧 e を横軸入力(x) とすれば円軌跡のリサジュー図形になろう。

奇妙な積分への疑問 積分回路を通した信号は『時間t』での積分か、『角度ωt』での積分に成るのか?

この電圧円軌跡は後で、pq理論の瞬時虚電力での座標展開への予備的な意味を込めた。

電気工学理論の虚数概念に対する結論 自然科学理論には様々な部門で虚数が使われているのだろう。電気工学理論では虚数記号に「j」が使われる。直角三角形の一辺を虚数で解釈する長い伝統によって電気工学理論は馴染み易い解析理論として定着している。上で論じたように、虚数は2乗によるマイナスの実数に変換される虚数論の原則との整合性で矛盾しているからと言うだけで、j記号の使用は悪いと言い切るのは浅はかであろう。直交したベクトル評価概念が電気工学理論として優れている事には間違いがない。ただ、実数軸と虚数軸で捉える表現法は虚数と言う実在物理量とは言い難い数であると言う点から、その二つの軸の物理量を共に実数とすれば合理的な論理展開で、伝統理論がそのまま生かせる。空間ベクトルの3次元座標の単位ベクトルをi 、 j およびk とするように設定すれば、何も虚数を必要とはしない。従って結論としては、[j]を単なる単位ベクトルと解釈すれば良い筈だ。

空間ベクトル解析と単位ベクトル

人が生活する場は「4次元空間」である。物の存在を認識する事は最低でも3次元である。物差しで長さを計ると言う事も、長さだけでは物の存在は認識出来ない。長さは物ではない。物の或る一面の寸法を計るのである。長さと言う概念はあくまでも空間を占有する実態を伴はない。長さは空間のゼロの概念である。日常生活は、目の前の空間で速度や広さ、長さを考えれば十分である。例えば、東西南北で「南向き」、「東向き」そして天上天下の「天の向き」の3つの方向で座標を考えれば目の前の空間の全体を把握し、規定できる。しかし、光の物理学的論理を展開しようとすると、日常の目の前の空間で考えることでは無理である。3次元空間の座標が、ある基準点を原点O点として仮想し、そのO点に直交する3本の座標軸で考えて得られる。その座標は空間の位置の距離寸法と方向を規定することで初めて役立つ。「大きさ」はおよびで決め、「方向」は「単位ベクトル ijおよびkを使う事にする。ベクトルは太字の斜体文字で表そう。この単位ベクトルが空間のベクトル計算や表示にとても便利であると同時に重要な量となる。その辺の関係を基本的なベクトルを基に少し考えてみる。右の図で、ベクトルaと bおよびそのベクトルとしての意味を簡単に説明しておきたい。%e5%86%99%e7%9c%9f427それは光の速度と空間特性で、今後記事を追加するに当って、運動物体と相互間の光伝播特性を考える為の基本的事項を纏めておこうとした。ベクトルと挟み角それは右のベクトル図の関係を理解する程度の基本的内容にとどまる。その図のベクトルabおよびベクトル積[a ×b]だけを取り上げてみる。各ベクトルがn_a_および n_b_なる単位ベクトルを持つとする。考える対象は目の前に描く空間でのベクトルであり、抽象的な高度の数学論とは異なる事をご承知いただきたい。ベクトル計算には「スカラー積」と「ベクトル積」の二つがある。図で考えると、ベクトルaをベクトルbに掛ける場合の計算を取り上げてみよう。その時の基礎事項はベクトル間の角度γ(ガンマ)とベクトルab方向成分a_b_とそれに直交した成分a_?_(単位ベクトルの方向性をどう表現すれば良いか難しくて添え字?とした)の二つに分解する必要がある。baの「スカラー積」を取れば、ab cosγの大きさが得られる。しかしそれは空間的な意味は失われてしまう。baの「ベクトル積」を取れば、[a ×b]でabの成す面に垂直な方向の新たな空間ベクトルとなる。このベクトル図の上で、スカラー積とベクトル積の計算を下に示す。

「スカラー積」の意味。ベクトルaとbのスカラー積とは何かを考えておきましょう。数学的意味と言うより、空間ベクトルの日常的な物理的実在性の意味についてである。二つのベクトルのスカラー積には空間的なベクトルの意味が全く失われてしまう。よく電気工学などでベクトル計算が使われる。そのベクトルは全く「抽象的ベクトル」で、実在空間とは相容れない概念の論理である。だから『光伝播特性』を論じる場合の空間ベクトルは『実在空間』を対象にした生活感覚に近い論理を展開する必要がある分野と考える。電気工学での「スカラー積」は抽象概念の『電圧』や『電流』を空間上に表示して解釈する場合に当たり、その場合も空間ベクトルの意味は失われる。スカラー積で得られた結果は「電力」や『熱エネルギー』等の空間概念から外れたものを表す事になる。『熱エネルギー』もエネルギーの少ない方向に自然に流れるから、伝導するから、その時は実在空間での方向性を持った『熱エネルギーベクトル』と看做す必要がある。微分演算子でグラデュエントgrad等で表現し、解釈する事になる。大体『エネルギー量』関連になり、空間的ベクトル性は失われるのが「スカラー積」の特徴と看做せば良いのかな。%e5%86%99%e7%9c%9f428

「ベクトル積」の意味。 スカラー積に対して、「ベクトル積」は空間上で大きさと方向が明確に規定される為、意味も分かり易い。ただその方向と物理的意味についての解釈には独特の習慣に慣れることが要求されるかもしれない。こんなところに、学問と言うある種の専門性には、『特殊な性質』が有るのかもしれない。所謂『専門性』と言う意味の中身が、一般生活常識では理解し難い難しさの領域の事になるのかもしれない。

単に空間にベクトルを設定しても、その方向性や計算が明確に規定し、理解するのが困難である。そこで最初の図のように、三次元の基準となる空間座標が必要になる。xi-yj-zkの3次元に更に1次元の時間を加えた4次元座標で、光の伝播特性などを考察するのである。ここにその『単位ベクトル』の意味を示す。

右ねじ系軸ベクトル 空間ベクトルで、角速度ベクトルω[rad/s]が有用である。角度ではある右ねじ系軸ベクトルが、空間で回転する角速度ωはその方向性を回転角の平面に対して、垂直な軸方向に定義する。角速度軸ベクトルその事に論理性があるかどうかは分からない。ただ空間ベクトルの取り扱い上便利であると言う事であるこれも技術的観点からの有用性だけなのかもしれない。右の回転運動のベクトル図で、動径 r  の先端の座標が回転速度ベクトル v [m/s]で回転する。その図の各ベクトルの取り扱いと考え方を纏めておきたい。特に、角速度ベクトルωの意味には特殊な解釈が含まれると思う。それは角度θやωの単位[rad]の次元解析上の意味が一般的に見失われると言う事である。次元解析で角度[rad]は消えてしまうのである。その点をも考慮して、纏めてみた。それが今後どのような意味を持つかはまだ明確ではない。以上で、単位ベクトルの意味について少し考え方を述べた。蛇足かも知れないが。