三角関数の微分・積分

三角関数式は現象が滑らかに変化する時の表式として貴重な数学である。電気現象などの解析には欠かせない関数式だ。実際に何かを解析しようとすると、その微分や積分の計算の機会が多くなる。正弦波の微分あるいは積分の結果で、符号が正かそれとも負かと今でも悩む。悩まないで済む方法がないかと思い付いた図表がある。

%e4%b8%89%e8%a7%92%e9%96%a2%e6%95%b0%e3%81%ae%e5%be%ae%e7%a9%8d%e5%88%86%e5%a4%89%e6%8f%9b三角関数の微積分変換 円周の外側に微分の変換を時計回りで示した。内側に、反時計回りで積分の変換を示した。例えば、cos ωtを微分すると-ωsin ωt となり、符号はマイナスとなる。微分の場合は余り問題はないが、積分で悩む。その例を示す。

%e4%bd%95%e6%95%85%e3%81%8b%e3%81%aa%ef%bc%9f何故かな? 公式を覚えていないから、波形の形状から積分結果の式を導こうと考える。微分の場合は問題ないが、積分で戸惑う。例えば、sin ωt を積分すると、値は正であろうと思う。ところが結果の式で、符合は『負』になる。確かに定積分をとれば、正しい結果に導かれるから数学的な計算としては正しいのである(?)が、記憶力の弱い自分には悩ましい問題だ。感覚的に計算式の結果が頭に入らないのだ。そこで変換図表にして置こうと思った。

(2016/10/12)追記。やっぱり変な三角関数計算だ。サイン関数を積分して『正』の値を『負』に成るという計算結果は数学的な論理的と言えない矛盾を露呈している。

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