指数関数の微分・積分

理解力の無さを棚に上げて、また『問答』を曝す。考える内容は基本の基の字の範囲でしかない。どうせ夢の中の戯言とするには、余りにも常識外れだから、勿体ないかと描きだした。

写真490指数関数の公式 (?)の積分は ∫a^αx^dx= e^x㏒α^/㏒α + c です。

y=e^x^ の基本式を取上げたい。その関数は微分しても同じ式である。この式は初めから記憶しているから、考えることなく微分式が得られる。しかし、その導出法はと考えると、少し戸惑う。対数による変換が必要になる。同時に、y=a^x^ の微分も取上げてみよう。常識外れの論考と言う意味は、何故自然対数の底e=2.718281828・・でなければならないかを『問答』対象に取り上げてみようと言う事である。全ての計算の基礎が e でデータ化されているから、それ以外で計算が出来ないようになっている。もし、e の代わりに3で計算データが構成されていれば、自然対数 log_3_3=ln3=1 となる。

指数関数と言えば自然対数の底が主役となる。

自然対数の底自然対数の底

これがあらゆる数値計算の基本の定数である。数学的には侵すことのできない存在に思える。しかし、何とも不思議で、複雑な定数だ。指数関数の微分はこの定数に縛られている。指数関数の微分の公式を上に示した。その公式が何故得られたかを尋ねてみた。定義に立ち返るのが良かろう。

導関数の定義微分の定義

変数xにおける微分値はその点の極限値(とa^x^の積)を求める事になる。

極限値と対数極限値と対数

この式の意味を検算してみると、疑問に突き当たる。a=3、h=1×10^-10^の値では、関数電卓で検算すると、何故か結果は1となる。自然対数値は ln3=1.098612である。hの値で結果はその数値が小さくても、変動する。関数電卓の計算精度限界か?計算は自然対数の底eで計算する仕組みだ。無限数で計算すれば、効率にも悪かろうと? (無駄な考え休むに似たり)数値3をeの代わりに選ぶと?と素人は考える。この素人考えはやはり素人の浅はかさと笑ってください。やはり自然対数の底でなければいけない事が上の極限値の式に示されていた。改めて、自然対数の底eの不思議な意味を認識させられた。eに一つの決着が付いた。

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